Question

【題目】已知為實數，函數．

（Ⅰ）求函數的單調區間；

（Ⅱ）求函數在上的最小值；

（Ⅲ）若，求使方程有唯一解的的值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）當時，遞增區間為；當時，遞減區間為，遞增區間為； （Ⅱ）； （Ⅲ）.

【解析】

（Ⅰ）首先求出函數定義域與，然后根據與0的大小關系，分類討論，即可求得函數的單調區間；

（Ⅱ）根據（Ⅰ），分和討論函數的單調性，從而根據函數單調性求得的最小值；

（Ⅲ）設，然后將問題轉化為有唯一解，從而通過求導研究函數的單調性得到，進而構造新函數，通過研究新函數的單調性求得的值．

（Ⅰ）由題意，函數，

可得的定義域為，且，

當時，，則在上是增函數；

當時，令，解得；令，得，

所以在上是減函數，在上是增函數．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，

①當時，在上是增函數，所以；

②當時，在上是減函數，在上是增函數，

若，即時，在上是增函數，所以；若，即時，在上是減函數，在上增函數，

所以，

綜上可得.

（Ⅲ）若方程有唯一解，設有唯一解，

令，可得，

因為，，所以或（舍去），

當時，，在上是單調遞減函數；

當時，，在上是單調遞增函數，

所以當時，函數取得最小值，最小值為，

因為有唯一解，所以，

所以，即，所以，

因為，所以，

設函數，∵時，是增函數，

所以至多有一個解，且，

所以方程得解為，即，解得，

所以當時，方程有唯一解時的值為．