Question

已知集合M為點(diǎn)集，記性質(zhì)P為“對(duì)任意（x，y）∈M，k∈（0，1），均有（kx，ky）∈M”．給出下列集合：①{（x，y）|x²≥y}，
②{（x，y）|2x²+y²＜1}，
③{（x，y）|x²+y²+2x+2y=0}，
④{（x，y）|x³+y³-x²y=0}，
其中具備有性質(zhì)P的點(diǎn)集的有

②④

．（請(qǐng)寫出所有符合的選項(xiàng)）

Answer 1

分析：根據(jù)性質(zhì)P的定義，①③取特殊點(diǎn)進(jìn)行排除，②④利用定義進(jìn)行驗(yàn)證即可．

解答：解：①由題意，取點(diǎn)（1，1），則（1，1）∈M，但是（

1

2

，

1

2

）∉M，∴點(diǎn)集M不具備有性質(zhì)P的點(diǎn)集；
②∵（x，y）∈{（x，y）丨2x²+y²＜1}，
∴2x²+y²＜1，
∵2×(

1

2

x)2+(

1

2

y)2=

1

4

（2x²+y²）＜

1

4

＜1，
∴點(diǎn)集M具備有性質(zhì)P的點(diǎn)集；
③取點(diǎn)（0，-2），則（0，-2）∈M，但是

1

2

（0，-1）∉M，∴點(diǎn)集M不具備有性質(zhì)P的點(diǎn)集；
④∵（x，y）∈{（x，y）丨x³+y³-x²y=0}，
∴x³+y³-x²y=0，
∴=(

1

2

x)3+(

1

2

y)3-(

1

2

x)2•

1

2

y=

1

8

（x³+y³-x²y）=0，
∴點(diǎn)集M具備有性質(zhì)P的點(diǎn)集．
即②④具備有性質(zhì)P，
故答案為：②④．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查與集合有關(guān)的新定義題目，難度較大，讀懂題意是解決本題的關(guān)鍵．