Question

【題目】已知函數(shù).

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）當時，若函數(shù)的導函數(shù)的圖象與軸交于， 兩點，其橫坐標分別為， ，線段的中點的橫坐標為，且， 恰為函數(shù)的零點，求證： .

Answer 1

【答案】（1）當時， 在內(nèi)單調(diào)遞增；當時， 在內(nèi)單調(diào)遞減，在， 內(nèi)單調(diào)遞增；（2）見解析.

【解析】試題分析：（1）對函數(shù)求導后，利用導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，對進行討論可得函數(shù)單調(diào)性；（2）由函數(shù)的導函數(shù)可知， 又是的零點，代入相減化簡得，對求導， .令，求得函數(shù).不等式得證．

試題解析：（1）由于的定義域為，則.對于方程，其判別式.當，即時， 恒成立，故在內(nèi)單調(diào)遞增.當，即，方程恰有兩個不相等是實，令，得或，此時單調(diào)遞增；令，得，此時單調(diào)遞減.

綜上所述，當時， 在內(nèi)單調(diào)遞增；當時， 在內(nèi)單調(diào)遞減，在， 內(nèi)單調(diào)遞增.

（2）由（1）知， ，所以的兩根， 即為方程的兩根.因為，所以， ， .又因為， 為的零點，

所以， ，兩式相減得，得.而，所以 .

令，由得，因為，兩邊同時除以，得，因為，故，解得或，所以.設(shè)，所以，則在上是減函數(shù)，所以，

即的最小值為.

所以.