Question

某校從高一年級周末考試的學生中抽出6O名學生，其成績(均為整數)的頻率分布直方圖如圖所示：(1)依據頻率分布直方圖，估計這次考試的及格率(60分及以上為及格)和平均分；(2)已知在[90，100]段的學生的成績都不相同，且都在94分以上，現用簡單隨機抽樣方法，從95,96,97,98,99,100這6個數中任取2個數，求這2個數恰好是兩個學生的成績的概率.

Answer 1

（1）80%，72分；（2）

試題分析：（1）本小題要求的及格率只需找到60分及以上的各組頻率和（或60分及以上的各組對應的長方形總面積）即可，也就是從圖中可看出的每組長方形的高（其值為）與各組的組距相乘之和；平均分即為這組數據的平均數，只要把每組的組中值乘以每組的頻率再相加即可；（2）本小題中從95,96,97,98,99,100中抽取2個數，總的基本事件的數目為15個，而[90,100]分數段內學生數為0.005×10×60=3人，這3人成績都不相同且都在94分以上，則可設他們的成績是95,96,97，又“2個數恰好是兩個學生的成績”含的基本事件的數目為3，故所求概率為即為.
試題解析：(1)由圖知，60及以上的分數所在的第三、四、五、六組的頻率和為(0.020+0.030+0.025+0.005)×10=0.80所以，抽樣學生成績的合格率是80%.利用組中值估算抽樣學生的平均分：=45×0.05+55×0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.25+95×0.05=72，所以，估計這次考試的平均分是72分.
(2)從95,96,97,98,99,100中抽取2個數，全部可能的基本事件有：（95，96），（95,97），（95,98），（95,99），（95,100），（96，98），（96,99），（96,100），（97,98），（97,99），（97,100），（98,99），（98,100），（99,100），共15個基本事件. 如果這2個數恰好是兩個學生的成績，則這2個學生在[90,100]段，而[90,100]的人數是3人，不妨設這3人的成績是95,96,97. 則事件A：“2個數恰好是兩個學生的成績”包括的基本事件：（95，96），（95,97），（96,97).共有3個基本事件.所以所求的概率為P(A)==.，數據的平均數=每組的組中值乘以每組的頻率再相加；基本事件的概念，古典概型的概率計算公式.