Question

設f（x）=ax²+bx+c（a，b，c為實常數），f（0）=1，g(x)=

f(x)，x＜0 -f(x)，x＞0

．
（Ⅰ）若f（-2）=0，且對任意實數x均有f（x）≥0成立，求g（x）的表達式；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，若h（x）=f（x）+kx不是[-2，2]上的單調函數，求實數k的取值范圍；
（Ⅲ）設a＞0，m＞0，n＜0且m+n＞0，當f（x）為偶函數時，求證：g（m）+g（n）＜0．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據題意，由f（0）=1可得c=1；再由f（-2）=0可得4a-2b+1=0，進而又由f（x）≥0對x∈R恒成立，知a＞0且△=b²-4a≤0；與4a-2b+1=0聯立可得（b-1）²≤0，即可得b、a的值；由a、b、c的值可得f（x）的解析式，進而可得g（x）的解析式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知h（x）的解析式，分析可得其圖象的對稱軸為x=-2（k+1），再由題意，結合二次函數的性質，可得-2＜-2（k+1）＜2，解可得答案；
（Ⅲ）根據f（x）為偶函數，可得b=0，即可得f（x）=ax²+1，又由a＞0，由二次函數的奇偶性可得g（x）在（0，+∞）上為減函數；又由題意，對m、n的關系變形可得m＞-n＞0，可得證明．

解答：解：（Ⅰ）由f（0）=c=1，則c=1，
由f（-2）=0得4a-2b+1=0，
又由f（x）≥0對x∈R恒成立，知a＞0且△=b²-4a≤0，
即b²-2b+1=（b-1）²≤0，
∴b=1，a=

1

4

；
從而f(x)=

1

4

x2+x+1；g(x)=

1 4 x2+x+1，x＜0 - 1 4 x2-x-1，x＞0

；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知h(x)=

1

4

x2+(k+1)x+1，其圖象的對稱軸為x=-2（k+1），
再由h（x）在[-2，2]上不是單調函數，
故得-2＜-2（k+1）＜2，
解可得-2＜k＜0，
（Ⅲ）證明：若f（x）為偶函數，則f（-x）=f（x），
則b=0，
∴f（x）=ax²+1，
又由a＞0，則f（x）在（0，+∞）上為增函數，
從而可得g（x）在（0，+∞）上為減函數，
又m＞0，n＜0，m+n＞0，
∴m＞-n＞0，從而g（m）＜g（-n）
且g（-n）=-f（-n）=-f（n）=-g（n）
故得g（m）＜-g（n），
因此，g（m）+g（n）＜0．

點評：本題考查函數奇偶性的應用，涉及二次函數的性質，解題時要充分利用二次函數的性質和函數奇偶性的性質．