Question

已知A，B，C是平面上不共線上三點，O為△ABC外心，動點P滿足：

OP

=

1

3

[(1-λ)

OA

+(1-λ)

OB

+(1+2λ)

OC

]（λ∈R且λ≠0），則P的軌跡一定通過△ABC的（　　）

A．內心

B．垂心

C．重心

D．AB邊的中點

Answer 1

分析：根據向量的加法的平行四邊形法則向量的運算法則，對

OP

=

1

3

[(1-λ)

OA

+(1-λ)

OB

+(1+2λ)

OC

]進行化簡，得到

2(1-λ)

3

OD

+

1+2λ

3

OC

，根據三點共線的充要條件知道P、C、D三點共線，但λ≠0則點P的軌跡一定不經過△ABC的重心．

解答：解：取AB的中點D，則 2

OD

=

OA

+

OB

∵

OP

=

1

3

[(1-λ)

OA

+(1-λ)

OB

+(1+2λ)

OC

]
∴

OP

=

1

3

[(1-λ)(2

OD

)+(1+2λ)

OC

]
=

2(1-λ)

3

OD

+

1+2λ

3

OC

，
而

2(1-λ)

3

+

1+2λ

3

=1，
∴P、C、D三點共線，
∵λ≠0
∴點P的軌跡一定不經過△ABC的重心．
故選D．

點評：此題是個中檔題．考查向量的加法法則和運算法則，以及三點共線的充要條件，和三角形的五心問題，綜合性強，體現了數形結合的思想．