Question

在空間四邊形ABCD中，E，F，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點．若AC=BD=a，若四邊形EFGH的面積為

3

8

a2，則異面直線AC與BD所成的角為（　　）

• A、30°
• B、60°
• C、120°
• D、60°或120°

Answer 1

分析：根據三角形中位線定理，結合題意證出四邊形EFGH為菱形，∠FEH（或其補角）就是異面直線AC與BD所成的角．設AC與BD所成的角為α，利用平行四邊形的面積公式，建立關于α的等式，解之即可得出AC與BD所成的角．

解答：解：連結EH，
∵EH是△ABD的中位線，
∴EH∥BD且EH=BD．
同理可得FG∥BD，EF∥AC，且FG=BD，EF=AC．
∴EH∥FG，且EH=FG，可得四邊形EFGH為平行四邊形．
∵AC=BD=a，
∴EF=EH=

1

2

a，四邊形EFGH為菱形，
設AC與BD所成的角為α，可得∠FEH=α或π-α，
可得四邊形EFGH的面積S=

1

2

a•

1

2

asinα=

3

8

a2，
解得sinα=

3

2

．
結合異面直線所成角為銳角或直角，可得α=60°，
即異面直線AC與BD所成的角為60°．
故選：B

點評：本題在特殊的空間四邊形中求異面直線所成角的大小，著重考查了平行四邊形的面積公式、三角形中位線定理、異面直線所成角的定義及求法等知識，屬于中檔題．