Question

(本題分12分）

如圖，在長方體中，

，為中點.

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）在棱上是否存在一點，使得平面？若存在，求的長；若不存在，說明理由.

（Ⅲ）若二面角的大小為，求的長.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）；

（Ⅲ）

【解析】本題考查利用空間向量這一工具求二面角，證明線面平行及線線垂直，解題的關鍵是建立恰當的坐標系及空間位置關系與向量的對應，此類解題，方法簡單思維量小，但計算量大，易因為計算錯誤導致解題失敗，解題時要嚴謹，認真，利用空間向量求解立體幾何題是近幾年高考的熱點，必考內容，學習時要好好把握

（Ⅰ）由題意及所給的圖形，可以A為原點，AB,AD,AA₁

的方向為X軸，Y軸，Z軸的正方向建立空間直角坐標系，設AB=a，給出圖形中各點的坐標，可求出向量 AD,B₁E的坐標，驗證其數量積為0即可證出兩線段垂直

（II）由題意，可先假設在棱AA₁上存在一點P（0，0，t），使得DP∥平面B₁AE，求出平面B₁AE法向量，可法向量與直線DP的方向向量內積為0，由此方程解出t的值，若能解出，則說明存在，若不存在符合條件的t的值，說明不存在這樣的點P滿足題意．

（III）由題設條件，可求面夾二面角的兩個平面的法向量，利用兩平面的夾角為30°建立關于a的方程，解出a的值即可得出AB的長

解：（Ⅰ）長方體中，

得：面

面-----------4分

（Ⅱ）取的中點為，中點為，連接

在中，面

 此時-----------------------8分

（Ⅲ）設，連接，過點作于點，連接

面，

得：是二面角的平面角

在中，

在矩形中，