Question

已知函數f(x)=2cosxsin(x+

π

3

)-

3

sin2x+sinxcosx．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的最小值及取得最小值時相應的x值；
（3）說明f（x）的圖象如何由函數y=2sinx的圖象變換而來．

Answer 1

分析：首先將函數化為正弦型y=2sin(2x+

π

3

)，
（1）周期易求
（2）當2x+

π

3

=2kπ-

π

2

，f（x）取最小值為-2；
（3）利用圖象變換規律求解．

解答：解：f(x)=2cosxsin(x+

π

3

)-

3

sin2x+sinxcosx=cosxsinx+

3

cos2x-

3

sin2x+sinxcosx=sin2x+

3

cos2x=2sin(2x+

π

3

)…3分
（1）由上可知，f（x）得最小正周期為T=π；…4分
（2）當2x+

π

3

=2kπ-

π

2

，即x=kπ-

5π

12

，k∈Z時，f（x）取最小值為-2；…8分
（3）將函數y=2sinx的圖象向左平移

π

3

單位，再將得到的函數圖象上所有的點的縱坐標不變，橫坐標縮短到原來的

1

2

倍，可得到函數f（x）的圖象．…12分．

點評：本題是基礎題，考查三角函數的化簡，求值，圖象變換規律，均屬常規知識和必備能力．