Question

如圖，B地在A地的正東方向4km處，C地在B地的北偏東30°方向2km處，河流的沿岸PQ（曲線）上任意一點(diǎn)到A的距離比到B的距離遠(yuǎn)2km．．現(xiàn)要在曲線PQ上選一處M建一座碼頭，向B、C兩地轉(zhuǎn)運(yùn)貨物．那么這兩條公路MB、MC的路程之和最短是

2

7

-2

km．

Answer 1

分析：依題意知曲線PQ是以A、B為焦點(diǎn)、實(shí)軸長(zhǎng)為2的雙曲線的一支，以直線AB為x軸、AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，求出點(diǎn)C與點(diǎn)A的坐標(biāo)，最后根據(jù)MB+MC=MA-2+MC=MA+MC-2≥AC-2可求出最短距離．

解答：解：依題意知曲線PQ是以A、B為焦點(diǎn)、實(shí)軸長(zhǎng)為2的雙曲線的一支，
以直線AB為x軸、AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，

3

），A（-2，0），
∵M(jìn)B+MC=MA-2+MC=MA+MC-2≥AC-2=2

7

-2，
∴兩條公路MB、MC的路程之和最短是2

7

-2．
故答案為：2

7

-2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了雙曲線的定義，以及學(xué)生根據(jù)實(shí)際問(wèn)題選擇函數(shù)類型的能力，轉(zhuǎn)化的思想，屬于中檔題．