Question

如圖，在四棱錐中，底面是菱形，，，,平面，是的中點，是的中點.  　
(Ⅰ) 求證：∥平面；
（Ⅱ）求證：平面⊥平面；
（Ⅲ）求平面與平面所成的銳二面角的大小.

Answer 1

(Ⅰ) 取中點為，連 ∵ 是的中點 ∴是的中位線,∴    ∵ 是中點且是菱形，
,∴ . ∴  
∴ 四邊形是平行四邊形. 從而 ,    ∵ 平面 ,
平面,       ∴ ∥平面      ……………………………4分
（Ⅱ）∵ ⊥平面,平面  ∴   
∵ 底面是菱形， ∴ 為正三角形, ∵是中點 ∴     ∵是平面內的兩條相交直線 ∴ ⊥平面. 
∵平面 ∴ 平面⊥平面  . ……………………………8分
說明：(Ⅰ) 、（Ⅱ）前兩小題用向量法，解答只要言之有理均應按步給分.
（Ⅲ）以為原點，垂直于的方向為軸，的方向分別為軸、軸建立空間直角坐標系，易知、、、.
由（Ⅱ）知⊥平面，∴是平面的一個法向量,
設平面的一個法向量為
由 ,且由
在以上二式中令，則得，，
∴,設平面與平面所成銳角為 
∴ .　
故平面與平面所成的銳角為

略