Question

已知橢圓C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

3

3

，直線l：x-y+

5

=0與橢圓C₁相切．
（1）求橢圓C₁的方程；
（2）設橢圓C₁的左焦點為F₁，右焦點為F₂，直線l₁過點F₁且垂直與橢圓的長軸，動直線l₂垂直于直線l₁于點P，線段PF₂的垂直平分線交l₂于點M，求點M的軌跡C₂的方程；
（3）若A（x₁，2），B（x₂，y₂），C（x₀，y₀）是C₂上不同的點，且AB⊥BC，求實數y₀的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）因為e=

c

a

，橢圓 C₁的方程可設為

x2

3c2

+ 

y2

2c2

=1，與直線方程 x-y+

5

=0 聯立，由判別式等于0解出c值，即得橢圓 C₁的方程．
（2）由題意可知，點M的軌跡C₂ 是以直線 l₁ 為準線，點F₂為焦點的拋物線，由直線l₁的方程為X=-1，點P的坐標為（1，0），可得點M的軌跡C₂ 的方程為 y²=4x．
（3）由題意可知A點坐標為（1，2），由

AB

•

BC

=0，可得（x₂-1，y₂-1）•（x₀-x₂，y₀-y₂ ）=0，方程 y₂²+（2+y₀ ）y₂+（2y₀+16）=0 有不為2的解，故 y₀²-4y₀-60≥0，且y₀≠-6，從而解得 y₀ 的取值范圍．

解答：解：（1）因為e=

c

a

=

3

3

，所以，a=

3

 c，b=

2

 c，橢圓 C₁的方程可設為

x2

3c2

+ 

y2

2c2

=1，
與直線方程 x-y+

5

=0 聯立，消去y，可得 5x²+6

5

x+15-6c²=0，
因為直線與橢圓相切，所以，△=(6

5

)2-4×5(15-6c2)=0，
又因為c＞0，所以 c=1，所以，橢圓 C₁的方程為

x2

3

+

y2

2

=1．
（2）由題意可知，PM=MF₂，又PM為點M到直線l₁ 的距離，
所以，點M到直線l₁的距離與到點 F₂的距離相等，
即點M的軌跡C₂ 是以直線 l₁ 為準線，點F₂為焦點的拋物線，
因為直線l₁的方程為X=-1，點P的坐標為（1，0），所以，點M的軌跡C₂ 的方程為 y²=4x．
（3）由題意可知A點坐標為（1，2）． 因為AB⊥BC，所以，

AB

•

BC

=0，
即 （x₂-1，y₂-1）•（x₀-x₂，y₀-y₂ ）=0，又因為  x2=

1

4

y22，x0=

1

4

y02，
所以，

1

16

 （y₂²-4 ）（y₀²-y₂² ）+（y₂-2 ）（y₀-y₂ ）=0，
因為 y₂≠2，y₂≠y₀，所以，

1

16

(y2+2)(y0+y2)+1=0，
整理可得：y₂²+（2+y₀ ）y₂+（2y₀+16）=0，關于 y₂ 的方程有不為2的解，所以
△=（2+y₀）²-4（2y₀+16）≥0，且 y₀≠-6，
所以，y₀²-4y₀-60≥0，且y₀≠-6，解得 y₀ 的取值范圍為 y₀＜-6，或 y₀≥10．

點評：本題考查求橢圓的標準方程，直線和橢圓的位置關系的應用，式子的化簡變形是解題的易錯點．