Question

已知動圓經過點和
（Ⅰ）當圓面積最小時，求圓的方程；
（Ⅱ）若圓的圓心在直線上，求圓的方程。

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）

試題分析：（Ⅰ）圓面積決定于半徑，所以當半徑最小時，圓面積最小 圓過A,B，則AB為圓中的弦，當AB為圓直徑時，圓的半徑最小 本題實質是求以AB為直徑的圓的方程，（Ⅱ）圓心不僅在直線上，而且也在線段AB中垂線上，這兩條直線的交點就是圓心，有了圓心就可求半徑了 這是幾何方法，如從圓的標準方程出發則列出三個獨立的方程，解方程組的順序應為先消去半徑，其實質就是線段AB中垂線方程
試題解析：（Ⅰ）要使圓的面積最小，則為圓的直徑，   2分
圓心,半徑       4分
所以所求圓的方程為：        6分
（Ⅱ）法一：因為，中點為，
所以中垂線方程為，即      8分
解方程組得：，所以圓心為    10分
根據兩點間的距離公式，得半徑，      11分
因此，所求的圓的方程為      12分
法二：設所求圓的方程為，
根據已知條件得
      6分
              11分
所以所求圓的方程為        12分