Question

類比平面上的命題（m），給出在空間中的類似命題（n）的猜想．
（m）如果△ABC的三條邊BC，CA，AB上的高分別為h_a，h_b和h_c，△ABC內任意一點P到三條邊BC，CA，AB的距離分別為P_a，P_b，P_c，那么

pa

ha

+

pb

hb

+

pc

hc

=1．
（n）

設h_a，h_b，h_c，h_d為四面體S-ABC的四個面上的高，P為四面體內的任一點，
P到相應四個面的距離分別為P_a，P_b，P_c，p_d，那么

pa

ha

+

pb

hb

+

pc

hc

+

pd

hd

=1

．

Answer 1

分析：根據三角形和四面體的相似性，以及三角形的邊應與四面體中的各個面進行類比，再結合已知的命題進行類比來猜想．

解答：解：設h_a，h_b，h_c，h_d為四面體S-ABC的四個面上的高，P為四面體內的任一點，
P到相應四個面的距離分別為P_a，P_b，P_c，p_d，那么

pa

ha

+

pb

hb

+

pc

hc

+

pd

hd

=1．
故答案為：設h_a，h_b，h_c，h_d為四面體S-ABC的四個面上的高，P為四面體內的任一點，
P到相應四個面的距離分別為P_a，P_b，P_c，p_d，那么

pa

ha

+

pb

hb

+

pc

hc

+

pd

hd

=1．

點評：本題一道有關三角形與三棱錐的歸納類比題，類比推理的一般步驟是：（1）找出兩類事物之間的相似性或一致性；（2）用一類事物的性質去推測另一類事物的性質，得出一個明確的命題（猜想），主要考查考生的創新精神，是否會觀察，會抽象概括，會用類比的方法得出新的一般性的結論．