Question

我們把焦點相同，且離心率互為倒數的橢圓和雙曲線稱為一對“相關曲線”．已知、是一對相關曲線的焦點，是它們在第一象限的交點，當時，這一對相關曲線中雙曲線的離心率是（　　）

A．

B．

C．

D．

Answer 1

A

解析試題分析：記F₁P=m，F₂P=n，F₁F₂=2c，由余弦定理得(2c)²=m²+n²-2mncos60⁰，即4c²=m²+n²-mn。
設a₁是橢圓的長半軸，a₂是雙曲線的實半軸，由橢圓及雙曲線定義，得m+n=2a₁，m-n=2a₂，即m=a₁+a₂，n=a₁-a₂，將它們及離心率互為倒數關系代入前式得a₁²-4a₁a₂+a₂²=0，可求得a₁=3a₂，e₁×e₂= 。所以這一對相關曲線中雙曲線的離心率是。
考點：橢圓的簡單性質；雙曲線的簡單性質；余弦定理。
點評：本題考查圓錐曲線的共同特征，考查了橢圓與雙曲線的性質，解題的關鍵是理解定義，且靈活應用定義。本題考查了閱讀能力及推理判斷的能力，本部分題符號計算多，運算量大，解題時要認真嚴謹，避免馬虎出錯。