Question

（本題滿分12分）如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，且PD=AB=2，E是PB的中點(diǎn)，F(xiàn)是AD的中點(diǎn)．

⑴求異面直線PD與AE所成角的大小；
⑵求證：EF⊥平面PBC ；
⑶求二面角F—PC—B的大小．.

Answer 1

（Ⅰ）連結(jié)BD   ∵PD⊥平面ABCD，
∴平面PDB⊥平面ABCD，
過點(diǎn)E作EO⊥BD于O，連結(jié)AO.
則EO∥PD，且EO⊥平面ABCD
.∴∠AEO為異面直線PD，AE所成的角…………3分
∵E是PB的中點(diǎn)，則O是BD的中點(diǎn)，且EO=PD=1.
在Rt△EOA中，AO=， .
即異面直線PD與AE所成角的大小為 …………………………… 4分
（Ⅱ）連結(jié)FO，   ∵F是AD的中點(diǎn)，        ∴OF⊥AD.∵EO⊥平面ABCD，
由三垂線定理，得EF⊥AD.又∵AD∥BC，∴EF⊥BC. ………………… 6分
連結(jié)FB.可求得FB =" PF" =則EF⊥PB.又∵PB∩BC = B，∴EF⊥平面PBC. …………………8分
（Ⅲ）取PC的中點(diǎn)G，連結(jié)EG，F(xiàn)G.則EG是FG在平面PBC內(nèi)的射影
∵PD⊥平面ABCD， ∴PD⊥BC又DC⊥BC，且PD∩DC = D，
∴BC⊥平面PDC，∴BC⊥PC，∵EG∥BC，則EG⊥PC∴FG⊥PC
∴∠FGE是二面角F—PC—B的平面角………………………………………10分
在Rt△FEG中，EG=BC = 1，GF = ，
 ∴二面角F—PC—B的大小為…12分
說明：如學(xué)生用向量法解題，則建立坐標(biāo)系給寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)給2分，第（1）問正確給
2分，第（2）問正確給4分，第（3）問正確給4分。

解析