Question

（2007•深圳一模）已知函數f(x)=x-a

x

+lnx（a為常數）．
（Ⅰ）當a=5時，求f（x）的極值；
（Ⅱ）若f（x）在定義域上是增函數，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出函數的導數，令導數等于0，解得x的值，為函數的極值點，列表考查極值點兩側導數的正負，判斷極值點處為極大值還是極小值，再求出極值即可．
（Ⅱ）解法1，若f（x）在定義域上是增函數，則f（x）在整個定義域上，導數大于0恒成立，得到含a和x的不等式，根據x的范圍求出a的范圍即可．
解法2，前面同解法1，先得到含a和x的不等式，把

1

x

看做一個整體，用t表示，則f'（x）可看做關于t的二次函數，即關于t的二次函數圖象恒在x軸上方，在判斷參數a份額范圍．

解答：解：（Ⅰ）a=5時，f(x)=x-5

x

+lnx，∴f′(x)=1-

5

2 x

+

1

x

(x＞0)，=

2x-5 x +2

2x

=

(2 x -1)( x -2)

2x

x	o＜x＜ 1 4	x= 1 4	1 4 ＜x＜4	x=4	x＞4
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	遞增	極大值f( 1 4 )	遞減	極小值f（4）	遞增

∴，f(x)極大=-

9

4

-ln4，f（x）_極小=-6+ln4
（Ⅱ）解法1：∵f（x）在定義域（0，+∞）上是增函數，∴f'（x）≥0對x∈（0，+∞）恒成立，即1-

a

2 x

+

1

x

≥0(x＞0)…（8分）∴

1

2

a≤

x

+

1

x

又

x

+

1

x

≥2（當且僅當x=1時，

x

+

1

x

=2）∴(

x

+

1

x

)min=2…（13分）∴a∈（-∞，4]
解法2：令t=

1

x

，則：g(t)=f′(x)=1-

a

2

t+t2≥0(t＞0)

a 4 ≤0 g(0)≥0

或      

a 4 ＞0 g( a 4 )≥0

解得，a≤0，或0＜a≤4，
∴a∈（-∞，4]

點評：本題主要考查了應用導數求函數的極值，判斷函數的單調性，屬于導數的應用．