Question

已知等軸雙曲線C：x²-y²=a²（a＞0）的右焦點為F，O為坐標原點． 過F作一條漸近線的垂線FP且垂足為P，．
（1）求等軸雙曲線C的方程；
（2）假設過點F且方向向量為的直線l交雙曲線C于A、B兩點，求的值；
（3）假設過點F的動直線l與雙曲線C交于M、N兩點，試問：在x軸上是否存在定點P，使得為常數．若存在，求出點P的坐標；若不存在，試說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據雙曲線為等軸雙曲線，可求出漸近線方程，再根據P點為過F作一條漸近線的垂線FP的垂足，以及，可求出雙曲線中c的值，借助雙曲線中a，b，c的關系，得到雙曲線方程．
（2）根據直線l的方向向量以及f點的坐標，可得直線l的方程，與雙曲線方程聯立，解出x₁+x₂，x₁x₂的值，代入中，即可求出的值．
（3）先假設存在定點P，使得為常數，設出直線l的方程，與雙曲線方程聯立，解x₁+x₂，x₁x₂，用含k的式子表示，再代入中，若為常數，則結果與k無關，求此時m的值即可．
解答：解：（1）設右焦點坐標為F（c，0），（c＞0），
∵雙曲線為等軸雙曲線，∴漸近線必為y=±x
由對稱性可知，右焦點F到兩條漸近線距離相等，且∠POF=．
∴△OPF為等腰直角三角形，則由||=⇒||=c=2
又∵等軸雙曲線中，c²=2a²⇒a²=2
∴等軸雙曲線C的方程為x²-y²=2
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）為雙曲線C與直線l的兩個交點
∵F（2，0），直線l的方向向量為=（1，2），
∴直線l的方程為，即y=2（x-2）
代入雙曲線C的方程，可得，x²-4（x-2）²=2⇒3x²-16x+18=0
∴x₁+x₂=，x₁x₂=6，
而=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（x₁-2）（x₂-2）=5x₁x₂-8（x₁+x₂）+16=
（3）假設存在定點P，使得為常數，
其中，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）為雙曲線C與直線l的兩個交點的坐標，
①當直線l與x軸不垂直是，設直線l的方程為y=k（x-2），
代入雙曲線C的方程，可得（1-k²）x²+4k²x-（4k²+2）=0
由題意可知，k=±1，則有x₁+x₂=，x₁x₂=
∴=（x₁-m）（x₂-m）+k²（x₁-2）（x₂-2）
=（4k²+1）x₁x₂-（2k²+m）（x₁+x₂）+4k²+m²
=+4k²+m²
=+m²=+m²+2（1-2m）
要使是與k無關的常數，當且僅當m=1，此時，=-1
②當直線l與x軸垂直時，可得點M（2，），N（2，-）
若m=1，=-1亦為常數
綜上可知，在x軸上是否存在定點P（1，0），使得=-1為常數．
點評：本題考查了等軸雙曲線的方程的求法，以及直線與雙曲線位置關系的應用．