Question

已知a、b為異面直線，則：

(1)經過直線a，存在唯一平面a，使b∥a；

(2)經過直線a，若存在平面α，使b⊥α，則α唯一；

(3)不存在直線l₁，l₂…l_n…，使a、b、l₁、l₂…l_n…中任意兩條直線為異面直線．

上述命題中，真命題的個數為(    )

A．0個          B．1個              C．2個                  D．3個

Answer 1

C 

解析：本題考查空間想象能力和抽象的理論推理能力；(1)正確；可反證假設經過直線a可以作兩個平面α、β，使得b∥α,b∥β,則經過直線b作一平面交平面α、β于c、d，由線面平行的性質定理可知b∥c∥d(且三線在同一平面內)，又由于直線a與直線b為異面直線，故直線c、d必與直線a相交，設直線a∩c=A,a∩d=B，則直線a在由三線b、c、d所確定的平面內，這與a、b兩異面相矛盾，故假設錯誤，原命題正確；對選項(2)當且僅當兩異面直線互相垂直時，這樣的平面存在且唯一，這是因為假設符合條件的平面有兩個都垂直于直線b，則必有兩平面平行；這與兩平面都經過直線a相矛盾，故若存在則有且只有一個；對選項(3)可構造無窮多個平行平面，每個平面內作一條直線，使任意兩條直線不同向即兩兩異面．