Question

【題目】已知函數f (x)＝ex，g(x)＝x－b，b∈R．

（1）若函數f (x)的圖象與函數g(x)的圖象相切，求b的值；

（2）設T(x)＝f (x)＋ag(x)，a∈R，求函數T(x)的單調增區間；

（3）設h(x)＝|g(x)|·f (x)，b＜1．若存在x1，x2 [0，1]，使|h(x1)－h(x2)|＞1成立，求b的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）b＝－1（2）見解析（3）(－∞，)

【解析】分析：（1）設切點為（t，et），由導數的幾何意義，可得et=1，且et=t-b，即可得到b=-1；
（2）求出T（x）的導數，討論當a≥0時，當a＜0時，由導數大于0，可得增區間；
（3）求出h（x）的分段函數，討論x的范圍，求得單調區間，對b討論，求得h（x）的最值，由存在性思想，即可得到b的范圍．

詳解：

(1)設切點為(t，et)，因為函數f(x)的圖象與函數g(x)的圖象相切，

所以et＝1，且et＝t－b，

解得b＝－1．

（2)T(x)＝ex＋a(x－b)，T′(x)＝ex＋a．

當a≥0時，T′(x)＞0恒成立．

當a＜0時，由T′(x)＞0，得x＞ln(－a)．

所以，當a≥0時，函數T(x)的單調增區間為(－∞，＋∞)；

當a＜0時，函數T(x)的單調增區間為(ln(－a)，＋∞)．

（3) h(x)＝|g(x)|·f(x)＝

當x>b時，h′(x)＝(x－b＋1) ex＞0，所以h(x)在(b，＋∞)上為增函數；

當x<b時，h′(x)＝－(x－b＋1) ex，

因為b－1＜x＜b時，h′(x)＝－(x－b＋1) ex＜0，所以h(x)在(b－1，b)上是減函數；

因為x＜b－1時， h′(x)＝－(x－b＋1) ex＞0，所以h(x)在(－∞，b－1)上是增函數．

當b≤0時，h(x)在(0，1)上為增函數．

所以h(x)max＝h(1)＝(1－b)e，h(x)min＝h(0)＝－b．

由h(x)max－h(x)min＞1，得b＜1，所以b≤0．

②當0＜b＜時，

因為b＜x＜1時， h′(x)＝(x－b＋1) ex＞0，所以h(x)在(b，1)上是增函數，

因為0＜x＜b時， h′(x)＝－(x－b＋1) ex＜0，所以h(x)在(0，b)上是減函數．

所以h(x)max＝h(1)＝(1－b)e，h(x)min＝h(b)＝0．

由h(x) max－h(x) min＞1，得b＜．

因為0＜b＜，所以0＜b＜．

③當≤b＜1時，

同理可得，h(x)在(0，b)上是減函數，在(b，1)上是增函數．

所以h(x)max＝h(0)＝b，h(x)min＝h(b)＝0．

因為b＜1，所以h(x)max－h(x)min＞1不成立．

綜上，b的取值范圍為(－∞，)．