Question

某企業為了適應市場需求，計劃從2010年元月起，在每月固定投資5萬元的基礎上，元月份追加投資6萬元，以后每月的追加投資額均為之前幾個月投資額總和的20%，但每月追加部分最高限額為10萬元．設第n個月的投資額為a_n萬元，前n個月的投資總額為s_n萬元．
（Ⅰ）求出a₁，a₂，a₃的值；
（Ⅱ）寫出a_n關于n的表達式．
（精確到0.01，參考數據：1.2²=1.44，1.2³=1.73，1.2⁴=2.07，1.2⁵=2.49，1.2⁶=2.99）

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據題設條件分別求出第1個月到第3個月的投資額，從而得到a₁，a₂，a₃的值．
（Ⅱ）由題設n≥2時，an=5+

1

5

Sn-1，由此能求出a_n關于n的表達式．

解答：解：（Ⅰ）由題設知，第1個月的投資額a₁=5+6=11，
第2個月的投資額a₂=5+11×20%=7.2，
第3個月的投資額a₃=5+（11+7.2）×20%=8.64．
（Ⅱ）由題設n≥2時，an=5+

1

5

Sn-1，
由an=5+

1

5

Sn-1，
∴an+1=5+

1

5

Sn，
兩式相減得：an+1-an=

1

5

(sn-sn-1)=

1

5

anan+1=

6

5

an(n≥2)…8′，
又a1=11，a2=5+

1

5

a1=

36

5

，
∴an=a2qn-2=

36

5

•(

6

5

)n-2=6(

6

5

)n-1，
由a_n≤15，
∴6×1.2^n-1≤15，
∴n-1≤5，
∴n≤6…10'
∴an=

11，n=1 6×1.2n-1，2≤n≤6 15，n≥7

…12'

點評：本題考查數列的應用，綜合性強，難度大，計算繁瑣，容易出錯．解題時要認真審題，仔細挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．