Question

已知數列{a_n}是等差數列,a₂=6,a₅=12,數列{b_n}的前n項和是S_n,且S_n+b_n=1.
(1)求數列{a_n}的通項公式.
(2)求證:數列{b_n}是等比數列.
(3)記c_n=,{c_n}的前n項和為T_n,若T_n<對一切n∈N^*都成立,求最小正整數m.

Answer 1

(1) a_n=2n+2   (2)見解析   (3) 2012

(1)設{a_n}的公差為d,則a₂=a₁+d,a₅=a₁+4d.
∵a₂=6,a₅=12,∴
解得:a₁=4,d=2.∴a_n=4+2(n-1)=2n+2.
(2)當n=1時,b₁=S₁,由S₁+b₁=1,得b₁=.
當n≥2時,∵S_n=1-b_n,S_n-1=1-b_n-1,
∴S_n-S_n-1=(b_n-1-b_n),即b_n=(b_n-1-b_n).
∴b_n=b_n-1.
∴{b_n}是以為首項,為公比的等比數列.
(3)由(2)可知:b_n=·()^n-1=2·()ⁿ.
∴c_n====-,
∴T_n=(1-)+(-)+(-)+…+(-)=1-<1,
由已知得≥1,∴m≥2012,
∴最小正整數m=2012.