Question

已知存在實數ω，φ（其中ω≠0，ω∈Z）使得函數f（x）=2cos（ωx+φ）是奇函數，且在上是增函數．
（1）當ω=1，|ϕ|＜π時，φ的值為    ；
（2）所有符合題意的ω與φ的值為    ．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據題意可得，再分別驗證φ得數值是否符合題中的條件：f（x）在上是減函數，進而得到答案．
（2）根據f（x）為奇函數，可得φ=，k∈Z，所以討論當k=2n（n∈Z）與當k=2n+1（n∈Z）兩種情況討論，再結合函數的單調性解決問題即可得到答案．
解答：解：（1）因為函數f（x）=2cos（ωx+φ）是奇函數，
所以φ=，（k∈Z），
因為|φ|＜π，所以．
當時，f（x）=2cos（x+）=-2sinx，
所以根據余弦函數的性質可得f（x）在上是減函數，
所以舍去．
當時，f（x）=2cos（x-）=2sinx，
所以根據余弦函數的性質可得f（x）在上是增函數，
所以符合題意，所以．
（2）由f（x）為奇函數，有f（-x）=-f（x）
∴2cos（-ωx+φ）=-2cos（ωx+φ）
所以2cosωx•cosφ=0，
又x∈R，∴cosωφ≠0，∴cosφ=0，
解得：φ=，k∈Z．
當k=2n（n∈Z）時，為奇函數，
因為f（x）在上是增函數，
所以ω＜0，由，
又f（x）在 （0，π4）上是增函數，故有，-2≤ω＜0，且ω=Z，
∴ω=-1或-2，故．
當k=2n+1（n∈Z）時，為奇函數，
因為f（x）在上是增函數，
所以ω＞0，由，
又f（x）在 （0，π4）上是增函數，故有，0＜ω≤2，且ω=Z，
∴ω=1或2，故．
所以所有符合題意的ω與φ的值為：
或者．
點評：本題主要考查三角函數的基本性質，函數的單調性，奇偶性，及其單調性與奇偶性的綜合推理能力，考查運算能力，有一定的難度．