Question

在平面上有如下命題“0為直線AB外的一點，則點P在直線AB上的充要條件是：存在實數x，y滿足

OP

=x•

OA

+y•

OB

，且x+y=1”，類比此命題，給出在空間中相應的一個正確命題是什么？

Answer 1

分析：將命題從平面類比到空間：直線類比到平面、三點共線類比到四點共面、未知數從2個類比到3個．由此得到命題：0為平面ABC外的一點，則點P在平面ABC上的充要條件是：存在實數x、y、z，滿足

OP

=x•

OA

+y•

OB

+z

OC

，且x+y+z=1．再利用向量共線定理加以正反論證，可得本題答案．

解答：解：由平面內的定理，類比到空間可得：
0為平面ABC外的一點，則點P在平面ABC上的充要條件是：存在實數x、y、z，
滿足

OP

=x•

OA

+y•

OB

+z

OC

，且x+y+z=1．該命題是一個真命題，證明如下：
①當實數x、y、z，滿足

OP

=x•

OA

+y•

OB

+z

OC

且x+y+z=1時，
（x+y+z）

OP

=x•

OA

+y•

OB

+z

OC

，化簡得x

AP

=y

PB

+z

CP

∴向量

AP

、

PB

、

CP

共面的向量，可得點P在平面ABC上，故充分性成立；
②當點P在平面ABC上時，存在實數λ、μ，使

PA

=λ

PB

+μ

PC

，
即

OA

-

OP

=λ（

OB

-

OP

）+μ（

OC

-

OP

），化簡得

OP

=-

1

λ+μ-1

OA

+

λ

λ+μ-1

OB

+

μ

λ+μ-1

OC

，
因此，存在x=-

1

λ+μ-1

、y=

λ

λ+μ-1

、z=

μ

λ+μ-1

，
滿足

OP

=x•

OA

+y•

OB

+z

OC

，且x+y+z=1．故必要性成立．
∴將題中的命題類比到空間，可得在空間中相應的一個正確命題為：0為平面ABC外的一點，則點P在平面ABC上的充要條件是：存在實數x、y、z，滿足

OP

=x•

OA

+y•

OB

+z

OC

，且x+y+z=1．

點評：本題將平面內的三點共線的一個命題類比到空間，并加以證明，著重考查了類比推理的一般方法和平面向量的基本定理及其意義等知識，屬于中檔題．