Question

【題目】已知一圓的圓心在直線上，且該圓經(jīng)過(guò)和兩點(diǎn).

（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若斜率為的直線與圓相交于，兩點(diǎn)，試求面積的最大值和此時(shí)直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）（2）最大值2，或.

【解析】

（1）方法一、求得的垂直平分線方程與已知直線聯(lián)立，求得圓心，可得半徑，即可得到所求圓的方程；

方法二、設(shè)圓的方程為，將點(diǎn)代入可得，，的方程組，解方程可得圓的方程；

（2）直線與圓相交，設(shè)直線的方程為，求得圓心到直線的距離和弦長(zhǎng)，由三角形的面積公式，化為關(guān)于的二次函數(shù)，求得最值，進(jìn)而求得，可得所求直線方程；

（1）方法一：和兩點(diǎn)的中垂線方程為：，

圓心必在弦的中垂線上，聯(lián)立得，

半徑，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.

方法二：設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，

由題得：，解得：

所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.

（2）設(shè)直線的方程為，圓心到直線的距離為，

∴，且，，

面積，

當(dāng)，時(shí)，取得最大值2

此時(shí)，解得：或

所以，直線的方程為：或.