Question

設(shè)函數(shù)f（x）=2x³-9x²+12x+8c
（1）當(dāng)c=1時(shí)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程；
（2）若對于任意的x∈[0，3]，都有f（x）＜c²成立，求c的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求出導(dǎo)數(shù)，求出切線的斜率和切點(diǎn)坐標(biāo)，再由點(diǎn)斜式方程，即可得到；
（2）求出導(dǎo)數(shù)，求出單調(diào)區(qū)間得到極值，求出端點(diǎn)處的函數(shù)值，即可得到最大值，再由恒成立思想，解不等式，即可得到c的范圍．

解答： 解：（1）當(dāng)c=1時(shí)，f（x）=2x³-9x²+12x+8
∵f（0）=8，∴切點(diǎn)坐標(biāo)為（0，8）
又∵f′（x）=6x²-18x+12∴f（0）=12
∴切線方程為：y-8=12（x-0）即12x-y+8=0；
（2）∵f′（x）=6x²-18x+12，
f′（x）＞0即6x²-18x+12＞0解得x＜1或x＞2，
f′（x）＜0，即6x²-18x+12＜0解得1＜x＜2，
又∵0≤x≤3，∴f（x）的增區(qū)間為：[0，1）和（2，3]，減區(qū)間為（1，2）；
由函數(shù)單調(diào)性可知：x=1時(shí)，函數(shù)∴f（x）取得極大值，即f（1）=8c+5，
x=2時(shí)，f（x）取得極小值，即f（2）=8c+4；
又∵f（0）=8c，f（3）=8c+9∴f（x）_max=8c+9
又∵對于任意的0≤x≤3，都有f（x）＜c²成立，則f(x)max＜c2，
即：8c+9＜c²解得：c＜-1或c＞9
∴c的取值范圍是（-∞，-1）∪（9，+∞）．

點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線方程，求單調(diào)區(qū)間和極值，最值，考查不等式的恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，屬于中檔題．