Question

定義“正對(duì)數(shù)”：ln+x=

0，0＜x＜1 lnx，x≥1

，現(xiàn)有四個(gè)命題：
①若a＞0，b＞0，則ln⁺（a^b）=bln⁺a
②若a＞0，b＞0，則ln⁺（ab）=ln⁺a+ln⁺b
③若a＞0，b＞0，則ln+(

a

b

)≥ln+a-ln+b
④若a＞0，b＞0，則ln⁺（a+b）≤ln⁺a+ln⁺b+ln2
其中正確的命題有（　　）

• A、①③④
• B、①②③
• C、①②④
• D、②③④

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：新定義,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)“正對(duì)數(shù)”概念，對(duì)①②③④逐個(gè)分析判斷即可．

解答：解：∵定義“正對(duì)數(shù)”：ln+x=

0，0＜x＜1 lnx，x≥1

，
①當(dāng)0＜a＜1，b＞0時(shí)，0=0^b＜a^b＜1^b=1，左=右=0；
當(dāng)a＞1，b＞0時(shí)，a^b＞1，左端ln⁺（a^b）=lna^b=blna=右端，故①真；
②若0＜a＜1，b＞0時(shí)，ab∈（0，1），也可能ab∈（1，+∞），舉例如下：ln⁺（

1

3

×2）=0≠ln2=ln⁺

1

3

+ln⁺2，故②錯(cuò)誤；
③若0＜a＜b＜1，0＜

a

b

＜1，左端=0，右端=0，左端≥右端，成立；
當(dāng)0＜a＜1≤b，0＜

a

b

＜1，ln⁺b=lnb≥0，左端=0，右端=0-lnb≤0，左端≥右端，成立；
當(dāng)1≤a＜b時(shí)，ln⁺（

a

b

）=0，ln⁺a=lna，ln⁺b=lnb，左端=0≥lna-lnb=右端，成立；
同理可知，當(dāng)0＜b＜a＜1，0＜b＜1≤a，1≤b＜a時(shí)，總有左端≥右端；
當(dāng)0＜a=b時(shí)，左端=右端，不等式也成立；
綜上，③真；
④若0＜a+b＜1，b＞0時(shí)，左=0，右端≥0，顯然成立；
若a+b＞1，則ln⁺（a+b）≤ln⁺a+ln⁺b+ln2?ln⁺

a+b

2

≤ln⁺a+ln⁺b，成立，故④真；
綜上所述，正確的命題有①③④．
故選：A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，著重考查對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，考查新定義的理解與應(yīng)用，突出考查分類討論思想與綜合運(yùn)算、邏輯思維及分析能力，屬于難題．