Question

已知雙曲線，點在曲線上，曲線的離心率為，點、為曲線上易于點A的任意兩點,為坐標原點。

（1）求曲線上方程；

（2）若為曲線的焦點，求最大值；

（3）若以為直徑的圓過點，求證：直線過定點，并求出定點坐標。

 

 

Answer 1

【答案】

（1）方程為

（2）由雙曲線的對稱性知，不妨設P在左支上，設，由焦半徑得：

  ，所以

所以，當時取等號。

的最大值是。

（3）設，聯立直線PQ和雙曲線方程得：

，所以得。

且，由題知，

所以，

，

代入的，

解得或（舍去），所以PQ方程為，

即得PQ過定點

（說明：另解一，可以利用對稱和當PQ垂直情況猜過軸上點，然后證明；

另解二，設AP斜率，求出P，Q坐標，然后利用兩點式寫出方程判斷過定點，）

 

 

 

【解析】略