Question

【題目】如圖所示，在三棱柱中，，，，分別為棱，的中點.

（1）求證：平面；

（2）若，，，求四棱錐的體積.

Answer 1

【答案】（1）見證明（2）

【解析】

(1)本題首先可借助題目所給出的條件證得以及，然后根據線面垂直的判定即可證得平面；

(2)本題首先可以做于點，然后借助(1)中結論證得為四棱錐的高，再然后通過題意計算得底面矩形的面積以及高的長，最后通過四棱錐的體積計算公式即可得出結果。

（1）在三棱柱中，，，，

因為，所以，

因為為的中點，所以，故，

因為，為的中點，所以，

因為，平面，

所以平面；

（2）作于點，

因為平面，平面，所以平面平面，

因為平面，平面平面，，

所以平面，即為四棱錐的高，

因為平面，平面，所以，

因為，分別為棱，的中點，所以，且，

故四邊形為平行四邊形，所以，且，

所以，即四邊形為矩形，

因為，，所以矩形的面積，

因為，，，所以，

因為，所以，

在中，，，，

所以，即，

所以，故，

所以四棱錐的體積.