Question

19、已知函數f（x）=（x²-ax+1）e^x，（a≥0）
（1）求函數f（x）的單調區間；
（2）若對于任意x∈[0，1]，f（x）≥1恒成立，求a取值范圍．

Answer 1

分析：（1）f'（x）=[x²+（2-a）x+（1-a）]e^x=（x+1）（x+1-a）e^x分類討論：①當a=0時，②當a＞0時，先對函數y=f（x）進行求導，然后令導函數大于0（或小于0）求出x的范圍，根據f′（x）＞0求得的區間是單調增區間，f′（x）＜0求得的區間是單調減區間，即可得到答案．
（2）先對a進行分類討論：①當a=0時，②當a＞1時，③當0＜a≤1時，分別驗證對于任意x∈[0，1]，f（x）≥1是否恒成立，最后綜合即得a取值范圍．

解答：解：（1）f'（x）=[x²+（2-a）x+（1-a）]e^x=（x+1）（x+1-a）e^x
①當a=0時，f'（x）=（x+1）²e^x，所以f'（x）=（x+1）²e^x≥0對于任意x∈R成立，所以f（x）在x∈R單調增函數；
②當a＞0時，由f'（x）=0解得x₁=-1或x₂=a-1，且x₁＜x₂，
知f（x）在（-∞，-1）和（a-1，+∞）上增函數；
知f（x）在（-1，a-1）上減函數．
（2）①當a=0時，f（x）在R上增函數，f（x）≥f（0）=1恒成立．
②當a＞1時，f（x）在[0，a-1]上減函數，f（x）≤f（0）=1，不恒成立．
③當0＜a≤1時，f（x）[0，1]上增函數，f（x）≥f（0）=1恒成立．
綜上所述：0≤a≤1．

點評：此題考查學生會根據導函數的正負判斷函數的單調性，并根據函數的增減性得到函數的最值，解答的關鍵是掌握函數的恒成立問題與最值的關系，是一道中檔題．