Question

已知直線l過點P（1，1），并與直線l₁：x-y+3=0和l₂：2x+y-6=0分別交于點A、B，若線段AB被點P平分．
求：
（1）直線l的方程；
（2）以O為圓心且被l截得的弦長為的圓的方程．

Answer 1

解：（1）依題意可設A（m，n）、B（2-m，2-n），則，即，解得m=-1，n=2．
即A（-1，2），又l過點P（1，1），用兩點式求得AB方程為=，即：x+2y-3=0．
（2）圓心（0，0）到直線l的距離d==，設圓的半徑為R，則由 ，
求得R²=5，故所求圓的方程為x²+y²=5．
分析：（1）依題意可設A（m，n）、B（2-m，2-n），分別代入直線l₁ 和l₂的方程，求出m=-1，n=2，用兩點式求直線的方程．
（2）先求出圓心（0，0）到直線l的距離d，設圓的半徑為R，則由，求得R的值，即可求出圓的方程．
點評：本題主要考查直線和圓相交的性質，點到直線的距離公式，弦長公式的應用，用兩點式求直線的方程，屬于中檔題．