Question

【題目】在△ABC中，cos2A﹣3cos（B+C）﹣1=0．
（1）求角A的大小；
（2）若△ABC的外接圓半徑為1，試求該三角形面積的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵cos2A﹣3cos（B+C）﹣1=0．

∴2cos2A+3cosA﹣2=0，

∴解得：cosA= ，或﹣2（舍去），

又∵0＜A＜π，

∴A=

（2）解：∵a=2RsinA= ，

又∵a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣bc≥bc，

∴bc≤3，當且僅當b=c時取等號，

∴S△ABC= bcsinA= bc≤ ，

∴三角形面積的最大值為

【解析】（1）由已知利用二倍角的余弦函數公式，三角形內角和定理，誘導公式化簡可得2cos2A+3cosA﹣2=0，解得cosA的值，結合范圍0＜A＜π，即可得解A的值．（2）由已知及正弦定理可求a=2RsinA= ，又利用余弦定理，基本不等式可得bc≤3，利用三角形面積公式即可得解三角形面積的最大值．
【考點精析】通過靈活運用余弦定理的定義，掌握余弦定理:;;即可以解答此題．