Question

各項均為正數的數列{a_n}的前n項和為S_n，滿足2（S_n+1）=a_n²+a_n（n∈N^*）．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）若數列{b_n}滿足b₁=2，b_n+1=2b_n（n∈N^*），數列{c_n}滿足cn=

an，n=2k-1 bn，n=2k

(k∈N*)，數列{c_n}的前n項和為T_n，當n為偶數時，求T_n；
（3）若數列Pn=

4

3

•(2n-1)(n∈N*)，甲同學利用第（2）問中的T_n，試圖確定T_n-P_n的值是否可以等于20？為此，他設計了一個程序（如圖），但乙同學認為這個程序如果被執行會是一個“死循環”（即程序會永遠循環下去，而無法結束），你是否同意乙同學的觀點？請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由題設知a₁=2，2a_n=a_n²-a_n-1²+a_n-a_n-1，由a_n＞0，知a_n-a_n-1=1由此能求出a_n．
（2）由題設知b_n=2ⁿ（n∈N^*）．n為偶數時，T_n=（a₁+a₃+…+a_n-1）+（b₂+b₄+…+b_n）=

(a1+an-1)• n 2

2

+

4(1-4 n 2 )

1-4

=

n2+2n

4

+

4

3

(2n-1)．
（3）由程序可知，n為偶數，T_n=

n2+2n

4

+

4

3

(2n-1)，Pn=

4

3

(2n-1)，設d_n=A-B=T_n-P_n=

n2+2n

4

，n=8時，T_n-P_n=20成立，程序停止．乙同學的觀點錯誤．

解答：解：（1）n=1，2（S₁+1）=a₁²+a₁?a₁=2．（2分）

n≥2，2(Sn+1)=an2+an 2(Sn-1+1)=an-12+an-1

，
兩式相減，得2a_n=a_n²-a_n-1²+a_n-a_n-1
∵a_n＞0，∴a_n-a_n-1=1．（4分）
?{a_n}為等差數列，首項為2，公差為1
∴a_n=n+1（n∈N^*）．（5分）
（2）∵{b_n}是首項為2，公比為2的等比數列，
∴b_n=2ⁿ（n∈N^*）．（7分）
n為偶數時，T_n=（a₁+a₃+…+a_n-1）+（b₂+b₄+…+b_n）．（8分）
=

(a1+an-1)• n 2

2

+

4(1-4 n 2 )

1-4

=

n2+2n

4

+

4

3

(2n-1)．（10分）
（3）由程序可知，n為偶數，
∴T_n=

n2+2n

4

+

4

3

(2n-1)，Pn=

4

3

(2n-1)
設d_n=A-B=T_n-P_n=

n2+2n

4

．（13分）
∵n=8時，

n2+2n

4

=20，且n為偶數
∴n=8時，T_n-P_n=20成立，程序停止．（14分）
∴乙同學的觀點錯誤．（16分）

點評：本題考查數列通項公式的求法和數列前n項和的計算方法，以程序圖為載體考查數列的性質和應用，解題時要認真審題，仔細解答．