Question

設點P是△ABC內一點（不包括邊界），且

AP

=m

AB

+n

AC

(m，n∈R)，則（m-1）²+（n-1）²的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：根據題意可得m、n滿足的不等式組，在mon坐標系內作出不等式組對應的平面區域，如圖所示．設P（m，n）是區域內一點，Q（1，1），可得（m-1）²+（n-1）²表示P、Q連線段長的平方值．運動點P并利用點到直線的距離公式和兩點間的距離公式加以計算，可得（m-1）²+（n-1）²的取值范圍．

解答：解：∵點P是△ABC內一點（不包括邊界），

AP

=m

AB

+n

AC

(m，n∈R)
∴實數m、n滿足不等式組

m＞0 n＞0 m+n＜1

，
在mon坐標系內作出不等式組表示的平面區域，
得到如圖所示的△MN0內部（不含邊界），其中M（1，0），N（0，1），O是坐標原點．設P（m，n）是區域內一點，Q（1，1）
∵|PQ|=

(m-1)2+(n-1)2

，
∴z=（m-1）²+（n-1）²表示P、Q連線段長的平方值．
運動點P，可得當P與Q在MN上的射影重合時，|PQ|達到最小值，
當P與原點O重合時，|PQ|達到最大值．
∵點P到MN的距離為d₁=

|1+1-1|

2

=

2

2

，|PO|=

(0-1)2+(0-1)2

=

2

，
∴z=（m-1）²+（n-1）²∈（(

2

2

)2，(

2

)2），
即（m-1）²+（n-1）²的取值范圍是(

1

2

，2)．
故答案為：(

1

2

，2)

點評：本題以平面向量為載體，求（m-1）²+（n-1）²的取值范圍．著重考查了向量的線性運算、二元一次不等式組表示的平面區域和點到直線的距離公式等知識，屬于中檔題．