Question

已知圓O的半徑為R，圓內一定點M且|MO|=

R

2

，一直線過點M且與該圓交于A，B 兩點，則△OAB面積的最大值為

3 R2

4

．

Answer 1

分析：以OM為y軸，建立直角坐標系，過點O作OD⊥AB，交AB于D，設直線AB的方程為y=kx+

R

2

，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則△OAB面積S=

1

2

OM×|x₁-x₂|=

R

4

×|x₁-x₂|然后聯立直線與圓的方程，求出|x₁-x₂|的最大值即可求出所求．

解答：解：以OM為y軸，建立直角坐標系M（0，

R

2

）
過點O作OD⊥AB，交AB于D
設直線AB的方程為y=kx+

R

2

，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
則△OAB面積S=

1

2

OM×|x₁-x₂|=

R

4

×|x₁-x₂|

y=kx+ R 2 x2+y2=R2

則x2+(kx+

R

2

)2=R2
∴（1+k²）x²+kRx-

3R2

4

=0
|x₁-x₂|²=（x₁+x₂）²-4x₁•x₂=

4k2R2+3R2

(1+k2)2

=

4R2

k2+1

-

R2

(1+k2)2

∴當k=0時|x₁-x₂|取最大值即S=

3 R2

4

故答案為：

3 R2

4

點評：本題主要考查了直線與圓的位置關系，以及函數的最值及其幾何意義，同時考查了利用解析法求最值，屬于中檔題．