Question

已知復數z滿足|2z+

1

z

|=1，則z的幅角主值范圍是______．

Answer 1

設z=r（cosθ+isinθ），則|2z+

1

z

|=1?4r⁴+（4cos2θ-1）r²+1=0，
這個等式成立等價于關于x的二次方程4x²+（4cos2θ-1）x+1=0有正根．
△=（4cos2θ-1）²-16≥0，
∴16cos²2θ-8cos2θ-15≥0，
∴cos2θ≤-

3

4

或cos2θ≥

5

4

（舍去）．
又x₁x₂=

1

4

＞0，
故必須x₁+x₂=-

4cos2θ-1

4

＞0．
∴cos2θ＜

1

4

．
∴cos2θ≤-

3

4

，
∴（2k+1）π-arccos

3

4

≤2θ≤（2k+1）π+arccos

3

4

．
∴kπ+

π

2

-

1

2

arccos

3

4

≤θ≤kπ+

π

2

+

1

2

arccos

3

4

，（k=0，1）．
故答案為：[

π

2

-

1

2

arccos

3

4

，

π

2

+

1

2

arccos

3

4

]∪[

3π

2

-

1

2

arccos

3

4

，

3π

2

+

1

2

arccos

3

4

]