Question

【題目】已知若干個(gè)長(zhǎng)方體盒子，其棱長(zhǎng)均為不大于正奇數(shù)的正整數(shù)（允許三棱長(zhǎng)相同），且盒壁厚度忽略不計(jì)，每個(gè)盒子的三組對(duì)面分別染為紅、藍(lán)、黃三色，若沒(méi)有一個(gè)盒子能以同色面平行的方式裝入另一個(gè)盒子中，則稱(chēng)這些盒子是“和諧的”，求最多有多少個(gè)和諧盒子？

Answer 1

【答案】

【解析】

設(shè)和諧盒子最多有個(gè)，在空間直角坐標(biāo)系中，坐標(biāo)面，，分別染為紅、藍(lán)、黃三色，將上述盒子放入坐標(biāo)系中，使其共頂點(diǎn)的三面分別放入同色的坐標(biāo)面中，則每個(gè)盒子與一個(gè)整數(shù)有序數(shù)組一一對(duì)應(yīng)，其中，、、、，、、.從而，和諧盒子集合對(duì)應(yīng)一個(gè)空間直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)集，，滿足對(duì)于任意中的兩點(diǎn)，，有， ①其中，.

設(shè)，其中，，令，.顯然，中任意兩點(diǎn)至多有一個(gè)分量相同，即，且對(duì)任意，，有. ②

將中各元按分量的大小排序，記為，其中，.由式①知.故，如圖，在坐標(biāo)平面內(nèi)記，，其中，，，，.從而，式②等價(jià)于. ③

對(duì)于，若，則將所有中的點(diǎn)并入中，將新集合記為，則仍滿足式③，對(duì)繼續(xù)上述調(diào)整，直至，此時(shí)，仍記為，將各點(diǎn)依次連成一條折線，則所有組成中互不相交條折線，故 ，當(dāng)，即時(shí)，上式等號(hào)成立.

綜上，和諧盒子至多有個(gè).