Question

如圖所示，在斜邊為AB的Rt△ABC中，過A作PA⊥平面ABC，AM⊥PB于M，AN⊥PC于N．
（1）求證：BC⊥面PAC；
（2）求證：PB⊥面AMN．

Answer 1

證明：（1）∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC．
∴PA⊥BC，又AB為斜邊，
∴BC⊥AC，PA∩AC=A，∴BC⊥平面PAC．
（2）∵BC⊥平面PAC，AN?平面PAC
∴BC⊥AN，又AN⊥PC，且BC∩PC=C，
∴AN⊥面PBC，又PB?平面PBC．∴AN⊥PB，
又∵PB⊥AM，AM∩AN=A，∴PB⊥平面AMN．
分析：（1）由結論聯想判定定理，要證明BC⊥平面PAC，需證明BC垂直于平面PAC中的兩條相交直線．已知BC⊥AC，尚缺條件PA⊥BC．于是考慮從其它條件所具備的性質中去尋找．
（2）欲證PB⊥平面AMN，根據直線與平面垂直的判定定理可知只需證PB與平面AMN內兩相交直線垂直，根據線面垂直的判定定理可知AN⊥面PBC，從而AN⊥PB，又PB⊥AM，AM∩AN=A，滿足定理所需條件．
點評：本題主要考查了直線與平面垂直的判定．應熟練記憶直線與平面垂直的判定定理，同時考查了空間想象能力，屬于基礎題之列．