Question

【題目】設和是雙曲線上的兩點，線段的中點為，直線不經過坐標原點．

（1）若直線和直線的斜率都存在且分別為和，求證：；

（2）若雙曲線的焦點分別為、，點的坐標為，直線的斜率為，求由四點、、、所圍成四邊形的面積．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）法一：設不經過點的直線方程為，與雙曲線方程聯立，利用中點坐標表示，再求；法二：利用點差法表示；

（2）先由已知求得雙曲線方程和直線的方程，由條件表示四邊形的面積；令解，利用的中點是，直接求點的坐標，再表示四邊形的面積.

（1）證明：法1：設不經過點的直線方程為，代入雙曲線方程得：．

設坐標為，坐標為，中點坐標為，則，，

，，所以，，．

法2：設、，中點，則，且，

（1）﹣（2）得：．

因為，直線和直線的斜率都存在，所以，

等式兩邊同除以，得：，即．

（2）由已知得，求得雙曲線方程為，直線斜率為，

直線方程為，代入雙曲線方程可解得，中點坐標為．

面積．

另解：線段中點在直線上．所以由中點，可得點的坐標為，代入雙曲線方程可得，即，解得（），所以．面積．