Question

如圖，在海岸線一側C處有一個美麗的小島，某旅游公司為方便游客，在上設立了A、B兩個報名點，滿足A、B、C中任意兩點間的距離為10千米。公司擬按以下思路運作：先將A、B兩處游客分別乘車集中到AB之間的中轉點D處（點D異于A、B兩點），然后乘同一艘游輪前往C島。據統計，每批游客A處需發車2輛，B處需發車4輛，每輛汽車每千米耗費2元，游輪每千米耗費12元。設∠，每批游客從各自報名點到C島所需運輸成本S元。

⑴寫出S關于的函數表達式，并指出的取值范圍；
⑵問中轉點D距離A處多遠時，S最小？

Answer 1

（1）；（2）千米．

解析試題分析：（1）首先發現運輸成本與路程有關，根據題意總運輸成本為，下面就是想辦法把用表示出來，由于，因此在中，利用正弦定理就可以用表示出，而，因此表達式易求．（2）由（1）求出了為的函數，問題變為為何值時，函數取得最小值，可以用導數的知識加以解決，即求出，令，使的值一定函數的最值點，只是我們要考慮下是最大還是最小值而已，這個應該是很好解決的．
試題解析：（1）由題在中，，
由正弦定理得，得
，        3分
∴
        7分
（2），令，得，        10分
當時，，當時，，∴當時，取得最小值．    12分
此時，，
∴中轉站距處千米時，運輸成本最小．        14分
考點：（1）正弦定理；（2）函數的最小值．