Question

已知函數f（x）=a-

1

2x+1

．
（1）求證：不論a為何實數，函數f（x）在R上總為增函數；
（2）若函數f（x）為奇函數，求a的值；
（3）當函數f（x）為奇函數時，若對任意的t∈R，不等式f（mt²+1）+f（1-mt）＞0恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求導函數，證明f'（x）＞0在其定義域R上恒成立即可；
（2）利用函數為奇函數時，f（0）=0，求得a的值，再驗證f（-x）=-f（x）即可；
（3）利用函數f（x）是R上的增函數，且為奇函數，不等式f（mt²+1）+f（1-mt）＞0等價于mt²-mt+2＞0，對m討論，即可求得實數m的取值范圍．

解答：（1）證明：求導函數可得f'（x）=

2xln2

(2x+1)2

∵（2^x+1）²＞0，2^x＞0，ln2＞0
∴f'（x）＞0在其定義域R上恒成立
∴不論a為何實數f（x）總是R上的增函數；
（2）解：∵f（x）定義域為R，
∴若函數為奇函數時，f（0）=a-

1

20+1

=0，∴a=

1

2

當a=

1

2

時，f（x）=

1

2

-

1

2x+1

=

2x-1

2(2x+1)

，∴f(-x)=

2-x-1

2(2-x+1)

=-

2x-1

2(2x+1)

=-f（x），符合題意．
因此，當a=

1

2

時，函數f（x）為奇函數；
（3）解：∵函數f（x）為奇函數，∴不等式f（mt²+1）+f（1-mt）＞0等價于f（mt²+1）＞f（mt-1）
∵f（x）是R上的增函數，∴mt²+1＞mt-1，∴mt²-mt+2＞0
∴對任意的t∈R，不等式f（mt²+1）+f（1-mt）＞0恒成立，等價于mt²-mt+2＞0恒成立
①m=0時，2＞0成立；
②

m＞0 m2-8m＜0

，∴0＜m＜8
綜上，0≤m＜8．

點評：本題考查函數的單調性與奇偶性，考查恒成立問題，利用函數的單調性與奇偶性，化不等式為具體不等式是關鍵．