Question

在平面直角坐標系中，已知向量，（m∈R），且滿足，動點M（x，y）的軌跡為C．
（Ⅰ）求軌跡C的方程，并說明該方程所表示的軌跡的形狀；
（Ⅱ）若已知圓O：x²+y²=1，當m=1時，過點M作圓O的切線，切點為A、B，求向量的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據題意，有M（x，y），欲求點M的軌跡C的方程，即尋找x，y之間的關系式，根據向量垂直利用向量間的關系求出M點的坐標的方程即可得；
（Ⅱ）欲向量的最大值和最小值，先求出向量用點M的坐標表示的函數式，后轉化為求函數的最值即可求得．
解答：解：（Ⅰ）∵，
∴，
即mx²+2y²=8，（2分）
當m=0時，2y²=8，解得y=±2，表示兩條與x軸平行的直線，
當m＜0時，，表示中心在坐標原點焦點在y軸上的雙曲線，
當m=2時，x²+y²=4，表示以原點為圓心，半徑為2的圓，
當m＞2時，，表示中心在坐標原點焦點在y軸上的橢圓，
當0＜m＜2時，表示中心在坐標原點焦點在x軸上的橢圓．（7分）（少一個扣一分）
（Ⅱ）當m=1時，曲線C的方程為：，
設∠AOB=2α，則，．．（8分）
∵MA與圓O相切于A，
∴在Rt△MAO中，，
即，．．（10分）
由，得x²=8-2y²，
∴，
∵0≤y²≤4，
∴當y²=0時，取得最小值為，
當y²=4時，取得最大值為．（12分）
點評：求曲線的軌跡方程是解析幾何的基本問題．求符合某種條件的動點的軌跡方程，其實質就是利用題設中的幾何條件，用“坐標化”將其轉化為尋求變量間的關系．