Question

【題目】已知函數f（x）=是定義在R上的奇函數；

（1）求a、b的值，判斷并證明函數y=f（x）在區間（1，+∞）上的單調性

（2）已知k＜0且不等式f（t2-2t+3）+f（k-1）＜0對任意的t∈R恒成立，求實數k的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）（-1，0）

【解析】

（1）根據奇函數的定義即可求出a、b的值，再根據增減性定義證明函數單調性即可

（2）根據奇函數的性質及函數的增減性原不等式可轉化為t2-2t+3＞1-k對任意的t∈R恒成立，只需求出t2-2t+3的最小值即可.

（1）∵函數f（x）=是奇函數

∴由定義f（-x）==-，

∴a=b=0，

∴f（x）=，

y=f（x）在區間（1，+∞）上的單調遞減．

證明如下：

∵f（x）=，∴，

∵x＞1，∴，

∴y=f（x）在區間（1，+∞）上的單調遞減．

（2）由f（t2-2t+3）+f（k-1）＜0及f（x）為奇函數得：f（t2-2t+3）＜f（1-k）

因為t2-2t+3≥2，1-k＞1，且y=f（x）在區間（1，+∞）上的單調遞減，

所以t2-2t+3＞1-k任意的t∈R恒成立，

因為t2-2t+3的最小值為2，所以2＞1-k，∴k＞-1

∵k＜0，∴-1＜k＜0．

∴實數k的取值范圍是（-1，0）．