Question

已知橢圓的離心率為,短軸一個端點到右焦點的距離為.
(1)求橢圓的方程；
(2)設不與坐標軸平行的直線與橢圓交于兩點，坐標原點到直線的距離為，求面積的最大值.

Answer 1

(1)橢圓的方程為；(2)面積的最大值為．

解析試題分析：(1)求橢圓的方程，可利用待定系數法求出的值即可，依題意，可得：，從而可得的值，即得橢圓的方程；(2)由于直線l是任意的，故可設其方程為.根據坐標原點到直線的距離為，可得與的關系式，從而將雙參數問題變為單參數問題.將作為底邊，則的高為常數，所以要使的面積最大，就只需邊最大.將用或表示出來便可求得的最大值，從而求得的面積的最大值.
試題解析：（1）依題意，可得：
所以，橢圓；
（2）坐標原點到直線的距離為，所以，
聯立可得：

所以，
由題意，得：，令，所以
，
所以，．
考點：橢圓方程，直線與圓錐曲線；點到直線的距離公式，基本不等式；弦長及三角形的面積．