Question

我們用部分自然數構造如下的數表：用a_ij(i≤j)表示第i行第j個數(i、j為正整數)，使a_ij＝a_ii＝i；每行中的其余各數分別等于其“肩膀”上的兩個數之和(第一、二行除外，如圖)，設第n(n為正整數)行中各數之和為B．

(Ⅰ)試寫出b₂－2b₁，b₃－2b₂，b₄－2b₃，b₅－2b₄，并推測b_n+1和b_n的關系(無需證明)；

(Ⅱ)證明數列{b_n＋2}是等比數列，并求數列{b_n}的通項公式b_n；

(Ⅲ)數列{b_n}中是否存在不同的三項b_p，b_q，b_r(p，q，r為正整數)恰好成等差數列？若存在求出p，q，r的關系；若不存在，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)； 　　可見：；；；，2分 　　猜測：(或或)　4分 　　(2)由(1)，6分 　　所以是以為首項，2為公比的等比數列， 　　∴，即 　　(注：若考慮，且不討論，扣1分)　8分 　　(3)若數列中存在不同的三項恰好成等差數列， 　　不妨設，顯然，是遞增數列，則　9分 　　即，于是　11分 　　由且知，， 　　∴等式的左邊為偶數，右邊為奇數，不成立， 　　故數列{bn}中不存在不同的三項恰好成等差數列．13分