Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上的值域；

（2）若，函數(shù)在上的最大值是，求的取值范圍；

（3）若不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】

（1）用換元法，設(shè)，將轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)得出結(jié)論。（2）將整理成，根據(jù)的范圍可得在定義域上的最大值，再由的范圍，可得。（3）設(shè)，在上恒成立等價(jià)于在上恒成立，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)解不等式，即得。

（1） 當(dāng)時(shí)，，設(shè)，則有，，那么，函數(shù)的對(duì)稱軸為，故函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，值域?yàn)?/span>.（2） 由題意得，，，，則當(dāng)時(shí)，取到最大值，即，又，且，，，故取值范圍是.（3） 設(shè)，所以在上恒成立等價(jià)于在上恒成立，這個(gè)二次函數(shù)開口朝上，在區(qū)間上的最大值在端點(diǎn)處取到，即只需即可，代入得，解得故實(shí)數(shù)的取值范圍是.