Question

【題目】如圖，幾何體是圓柱的一部分，它是由矩形ABCD（及其內部）以AB邊所在直線為旋轉軸旋轉120°得到的，G是 的中點．（12分）
（Ⅰ）設P是 上的一點，且AP⊥BE，求∠CBP的大小；
（Ⅱ）當AB=3，AD=2時，求二面角E﹣AG﹣C的大小．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵AP⊥BE，AB⊥BE，且AB，AP平面ABP，AB∩AP=A，
∴BE⊥平面ABP，又BP平面ABP，
∴BE⊥BP，又∠EBC=120°，
因此∠CBP=30°；
（Ⅱ）解法一、

取 的中點H，連接EH，GH，CH，
∵∠EBC=120°，∴四邊形BEGH為菱形，
∴AE=GE=AC=GC= ．
取AG中點M，連接EM，CM，EC，
則EM⊥AG，CM⊥AG，
∴∠EMC為所求二面角的平面角．
又AM=1，∴EM=CM= ．
在△BEC中，由于∠EBC=120°，
由余弦定理得：EC2=22+22﹣2×2×2×cos120°=12，
∴ ，因此△EMC為等邊三角形，
故所求的角為60°．
解法二、以B為坐標原點，分別以BE，BP，BA所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系．

由題意得：A（0，0，3），E（2，0，0），G（1， ，3），C（﹣1， ，0），
故 ， ， ．
設 為平面AEG的一個法向量，
由 ，得 ，取z1=2，得 ；
設 為平面ACG的一個法向量，
由 ，可得 ，取z2=﹣2，得 ．
∴cos＜ ＞= ．
∴二面角E﹣AG﹣C的大小為60°．
【解析】（Ⅰ）由已知利用線面垂直的判定可得BE⊥平面ABP，得到BE⊥BP，結合∠EBC=120°求得∠CBP=30°；
（Ⅱ）法一、取 的中點H，連接EH，GH，CH，可得四邊形BEGH為菱形，取AG中點M，連接EM，CM，EC，得到EM⊥AG，CM⊥AG，說明∠EMC為所求二面角的平面角．求解三角形得二面角E﹣AG﹣C的大小．
法二、以B為坐標原點，分別以BE，BP，BA所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系．求出A，E，G，C的坐標，進一步求出平面AEG與平面ACG的一個法向量，由兩法向量所成角的余弦值可得二面角E﹣AG﹣C的大小．
【考點精析】認真審題，首先需要了解旋轉體（圓柱、圓錐、圓臺）(常見的旋轉體有：圓柱、圓錐、圓臺、球)，還要掌握直線與平面垂直的判定(一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線直線垂直”互相轉化的數學思想)的相關知識才是答題的關鍵．