Question

下列命題中，真命題的序號是

①③④

．
①△ABC中，A＞B?sinA＞sinB
②數列{a_n}的前n項和S_n=n²-2n+1，則數列{a_n}是等差數列．
③銳角三角形的三邊長分別為3，4，a，則a的取值范圍是

7

＜a＜5．
④等差數列{a_n}前n項和為S_n．已知a_m-1+a_m+1-a²_m=0，S_2m-1=38，則m=10．
⑤常數數列既是等差數列又是等比數列．
⑥數列{a_n}滿足，S_n=2a_n+1，則數列{a_n}為等比數列．

Answer 1

分析：①由正弦定理知

a

sinA

=

b

sinB

，由sinA＞sinB，知a＞b，所以A＞B，反之亦然，可判斷①．
②由S_n=n²-2n+1，知a₁=S₁=0，a_n=S_n-S_n-1=2n-1．當n=1時，2n-1=1≠a₁．可判斷②
③分兩種情況來考慮，當a為最大邊時，只要保證a所對的角為銳角就可以了；當a不是最大邊時，則4為最大邊，同理只要保證4所對的角為銳角就可以了，可判斷③．
④利用等差數列的性質a_n-1+a_n+1=2a_n，我們易求出a_m的值，再根據a_m為等差數列{a_n}的前2m-1項的中間項（平均項），我們可以構造一個關于m的方程，解方程即可得到m的值．可判斷④
⑤根據常數列各項為0時，不滿足等比數列的定義，可判斷⑤
⑥根據已知，求出數列的首項為0，結合等比數列的定義，可判斷⑥．

解答：解：由正弦定理知

a

sinA

=

b

sinB

=2R，∵sinA＞sinB，∴a＞b，∴A＞B．
反之，∵A＞B，∴a＞b，∵a=2RsinA，b=2RsinB，∴sinA＞sinB，
即A＞B?sinA＞sinB，故①正確；
∵S_n=n²-2n+1，∴a₁=S₁=0，當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2n-1．由n=1時，2n-1=1≠a₁．故數列{a_n}不是等差數列，故②錯誤；
分兩種情況來考慮：
當a為最大邊時，設a所對的角為α，由α銳角，根據余弦定理可得：cosα=

32+42-a2

2×3×4

＞0，解得：0＜a＜5；
當a不是最大邊時，則4為最大邊，同理只要保證4所對的角為銳角就可以了，則有3²+a²-4²＞0，可解得：a＞

7

，
所以綜上可知x的取值范圍為

7

＜a＜5．故③正確；
∵數列{a_n}為等差數列，∴a_n-1+a_n+1=2a_n，∵a_m-1+a_m+1-a_m²=0，∴2a_m-a_m²=0，解得：a_m=2，
又∵S_2m-1=（2m-1）a_m=38，解得m=10，故④正確
∵各項為0的常數列，不滿足等比數列的定義，故⑤錯誤；
∵S₁=a₁=2a₁，∴a₁=0．可得數列{a_n}不是等比數列，故⑥錯誤
故答案為：①③④

點評：本題以命題的真假判斷為載體考查了正弦定理與余弦定理，等差數列與等比數列的定義，難度中檔．