Question

已知函數f(x)=Asinx+sin(

π

2

-x)，(x∈R)．且f(

π

4

)=

2

，
（1）求函數f（x）的單調減區間；
（2）求函數f（x）的最大值與取得最大值時x的集合；
（3）若f(α)=

1

4

，α∈(0，

π

2

)，求sin2α的值．

Answer 1

分析：（1）利用誘導公式及f(

π

4

)=

2

，求出函數解析式，從而可得函數f（x）的單調減區間；
（2）利用正弦函數的性質，可得函數f（x）的最大值與取得最大值時x的集合；
（3）由條件可得sinα+cosα=

1

4

，兩邊平方可得sin2α的值．

解答：解：（1）f(x)=Asinx+sin(

π

2

-x)=Asinx+cosx
∵f(

π

4

)=

2

，∴

2

2

A+

2

2

=

2

，∴A=1
∴f（x）=sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

）
令x+

π

4

∈[2kπ+

π

2

，2kπ+

3π

2

]（k∈Z），可得x∈[2kπ+

π

4

，2kπ+

5π

4

]（k∈Z）
即函數f（x）的單調減區間為[2kπ+

π

4

，2kπ+

5π

4

]（k∈Z）；
（2）令x+

π

4

=2kπ+

π

2

，可得x=2kπ+

π

4

（k∈Z），此時求函數f（x）取到最大值

2

；
（3）∵f(α)=

1

4

，α∈(0，

π

2

)，
∴sinα+cosα=

1

4

兩邊平方可得1+sin2α=

1

16

∴sin2α=-

15

16

．

點評：本題考查三角函數的化簡，考查三角函數的性質，屬于中檔題．