Question

【題目】已知定義在上的奇函數.

（1）求的值；

（2）當，時，不等式恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)k=2，（2）（1，+∞）

【解析】

（1）利用奇函數定義可求得k＝1；

（2）先利用奇函數和增函數性質化簡不等式，然后分離參數，先對m恒成立，構造函數轉化為最大值，接著再對n恒成立，構造函數轉化為最大值．即可求出t的范圍．

（1）由f（x）+f（﹣x）＝0，得0，

即（k﹣2）（ ax+a﹣x）＝0對任意實數都成立，

∴k＝2；

（2）由（1）知：f（x），

①當a＞1時，a2﹣1＞0，y＝ax與y＝﹣a﹣x在R上都是增函數，

所以函數f（x）在R上是增函數；

②當0＜a＜1時，a2﹣1＜0，y＝ax與y＝﹣a﹣x在R上都是減函數，

所以函數f（x）在R上是增函數．

綜上，f（x）在R上是增函數．

（此結論也可以利用單調性的定義證明）

不等式可化為f（2n2﹣m）＞﹣f（2n﹣mn2），

∵函數f（x）是奇函數，

∴不等式可化為f（2n2﹣m）＞f（﹣2n+mn2﹣2t）；

又∵f（x）在R上是增函數．

∴2n2﹣m＞﹣2n+mn2﹣2t

即2t＞（n2+1）m﹣2n2﹣2n，對于m∈[0，1]恒成立．

設g（m）＝（n2+1）m﹣2n2﹣2n，m∈[0，1]．

則2t＞g（m）max＝g（1）＝﹣n2﹣2n+1

所以2t＞﹣n2﹣2n+1，對于n∈[﹣1，0]恒成立．

設h（n）＝﹣n2﹣2n+1，n∈[﹣1，0]．

則2t＞h（n）max＝h（﹣1）＝2．

所以t的取值范圍是（1，+∞）．